SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIOS RESUELTOS

Sistemas de ecuaciones ejercicios , ejemplos , preguntas, teoría , demostraciones y problemas resueltos

SISTEMAS DE ECUACIONES ASPECTOS TEORICOS Y EJEMPLOS DESARROLLADOS











































Recordemos que la palabra ecuación proviene del latín aequatio que significa igualdad. Muchos problemas de la vida real nos obligan a resolver simultáneamente varias ecuaciones lineales para hallar las soluciones comunes a todas ellas. También resultan muy útiles en geometría (las ecuaciones lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posición relativa de estas figuras geométricas en el plano o en el espacio). Problemas tan amplios como la distribución de cosechas o el presupuesto de un país, el cálculo de la órbita de un asteroide (o de un planeta) y el cálculo de la estabilidad estructural de un edificio en ingeniería civil, entre muchos otros, pueden plantearse en términos de sistemas de ecuaciones lineales para obtener su solución.
Para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales empleamos dos herramientas matemáticas que nos van a facilitar los cálculos: las matrices y los determinantes, pues nos permiten expresar de una manera clara, concisa y elegante la condición de compatibilidad de los sistemas de ecuaciones lineales. Para resolver un s.e.1. hay que hacer transformaciones en las ecuaciones hasta que todas las incógnitas queden despejadas. Estas transformaciones convierten nuestro sistema inicial en otros sistemas (con aspecto distinto y más fáciles de resolver) que tienen las mismas soluciones (sistemas equivalentes). Para ello existen métodos tales como: el método de Gauss (por reducción), el método de Cramer (por determinantes), el método de la matriz inversa y el método de la matriz aumentada, que estudiaremos en el presente capítulo.

SISTEMA DE ECUACIONES
DEFINICIÓN
Es un conjunto de ecuaciones lineales o no lineales con dos o más incógnitas, que tal vez se verifican simultáneamente para ciertos valores asignados a sus incógnitas.
RESOLUCIÓN DE LOS SISTEMAS NO LINEALES
Sabemos que un sistema no lineal es aquel sistema donde al menos una de las ecuaciones no es lineal.
SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS
Son aquellos sistemas lineales donde cada ecuación tiene término independiente nulo.
Método matricial de Gauss
Este método es equivalente al método de reducción y permite resolver un sistema lineal de manera matricial.
Se aplica para sistemas lineales donde el número de ecuaciones puede ser diferente al número de incógnitas.
Se basa en triangular una matriz aumentada, mediante algunas operaciones elementales por filas, para después obtener fácilmente las soluciones con solo despejar las incógnitas desde la última ecuación hasta la primera, sustituyendo en cada una los valores obtenidos en las anteriores. Sea el sistema lineal
Método de Gabriel Cramer
Se llama sistema de Cramer a aquellos sistemas de ecuaciones lineales que cumplen dos condiciones:
1. El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
11. El determinante de la matriz de los coeficientes de las incógnitas es distinto de cero (determinante del sistema).


Arthur Cayley
* Nació en Richmond, Surrey (Inglaterra), el 16 de agosto de 1821 y murió en Cambridge el 26 de enero de 1895. Fue un prolífico matemático -junto a Euler y Cauchy- que introdujo la actual notación de determinante con las líneas verticales, y que definió y dio las principales propiedades del concepto de matriz. Hijo de un próspero empresario y de madre rusa, los ocho primeros años de su infancia los vivió en San Petersburgo. Regresa con su familia a Inglaterra en 1829. Desde temprana edad mostró tan notables aptitudes por las matemáticas que sus profesores recomendaron al padre que prosiga sus estudios matemáticos en los cursos superiores; el padre al comienzo se opuso, pues tenía planeado para el hijo el mundo de los negocios. 

Pero luego le permite cursar estudios en el Trinity College de la Universidad de Cambridge. Se gradúa con honores en 1842 como Senior Wrangler y se le adjudica el premio Smith, gracias a sus trabajos sobre matemáticas publicados en el Cambridge Mathematical Journal. Se le nombra asistente tutor por tres años en el Trinity College, pero renuncia cuando le impusieron la condición de hacerse clérigo para continuar enseñando. Entonces se dedica a las leyes para ganarse la vida, pero sin abandonar las matemáticas: durante su labor como abogado publicó 250 trabajos sobre matemática. Tras catorce años en los tribunales, aburrido de los asuntos judiciales, en 1863 vuelve a Cambridge. Fue su amigo Sylvester quien usa por vez primera la palabra matriz para nombrar un cuadro de números con características distintas al determinante. Cayley motivado por sus trabajos sobre la teoría de los invariantes desde 1841 se interesó por el concepto de la matriz y la desarrolló como una entidad diferente, al definir la matriz unidad, la nversa y las operaciones de suma y producto. 

* En 1858 publicó Memoria
sobre la teoría de matrices, en la que
da la definición de matriz. En 1859
concluyó que la geometría métrica
se encontraba incluida en la proyectiva,
idea que recoge Felix Klein
en su estudio de las geometrías no
euclídeas.
Sus trabajos sobre la geometría
cuatridimensional dieron a los físicos
del siglo xx, en especial a Albert
Einstein, la estructura para desarrollar
la teoría de la relatividad o el desarrollo
de la mecánica cuántica de
Max Planck.
También fue el primero en dar
la definición moderna del concepto
de grupo. Los únicos grupos que se
conocían en su época eran los grupos
de permutaciones que recién
habían sido descritos. Cayley definió
de manera general la idea de grupo
y creó un método constructivo para
describir la tabla de cualquier grupo
en términos de permutaciones, lo
que hoy se conoce como la representación
regular o tabla de Cayley
de un grupo.
Contribuyó, asimismo, a la geometría
analítica en n dimensiones,
las transformaciones lineales que
son el origen de su teoría de matrices,
la teoría de superficies y las
determinantes, y a las álgebras de
dimensión finita. Toda su obra está
reunida en trece tomos de 600 páginas
cada uno, las que contienen en
total más de 900 articulas.
Cayley, además, era un hombre
de gran cultura, que tenía aficiones
por la buena literatura, los viajes, la
arquitectura y el alpinismo, que lo
alejaban de ser un «simple matemático
». Incluso, con su amigo Sylvester
cambiaron la mentalidad medieval
de la Universidad de Cambridge
respecto a admitir como alumnas a
las mujeres: una de las alumnas de
Sylvester fue Florence Nightingale,
quien destacó por su aporte a las reformas
hospitalarias y a la mejora de
la atención médica en general.
Lo condecoraron con la Royal
Medal en 1859 y la Medal Copley en
1882.



Solución de un sistema
La solución de un sistema de ecuaciones, si existe, depende de la cantidad
de incógnitas, es decir,
1. si el sistema tiene dos incógnitas, una solución del sistema, de existir,
será de la forma (xo; Yo)' llamado par ordenado.
Il. si el sistema tiene tres incógnitas, una solución será de la forma
(xo; Yo; zo)' llamada terna ordenada.
III. así,en general, si el sistema tiene n incógnitas, una solución será de la forma
(Xl; X2; ... ; xn) de n elementos, llamada n-ada ordenada.
Conjunto solución (CS)
Es el conjunto formado por todas las soluciones del sistema. En el caso de
no existir solución, su conjunto solución es el conjunto vacío.
Ejemplo
El sistema de ecuaciones {
X+ Y =8
.Jx-1 +.Jy-2 =3
solo se verifica para: (x=Z /\ y=6) v (x=S /\ y=3)
Luego: CS={(2; 6), (5; 3)}.
~Nota
En el ejemplo 3 existe infinitas soluciones,
pues la primera ecuación
es equivalente a la segunda; por lo
tanto, existe una variable libre que
genera infinitas soluciones.
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES
Se clasifican de acuerdo a ciertas características:
l. De acuerdo a su conjunto solución
Los sistemas se clasifican en compatibles o incompatibles, dependiendo de
si existe o no solución.
Sistema compatible
Es aquel sistema que tiene al menos una solución, es decir, su conjunto solución
tiene al menos un elemento.
Ejemplos
Los siguientes sistemas son compatibles.


Una de las soluciones que tiene es x=3;y= 1Ytiene más soluciones.
A estos sistemas también se les llama sistemas consistentes, y pueden clasificarse
en determinados (tiene una cantidad finita de soluciones) e indeterminados
(tiene infinitas soluciones).
Ejemplos
Este sistema tiene una sola solución
Este sistema tiene cuatro soluciones.
"Nota
El sistema (3) se reduce a una
sola ecuación como: 3x+y=4;
luego, si hacemos
Vemos que existen infinitas soluciones.
En el sistema (4), si sumamos
las dos ecuaciones obtenemos
Existen infinitas soluciones.
Estas dos ecuaciones son equivalentes y quedan reducidas a una
sola ecuación y=- 3x+4, cuyas soluciones las encontramos tabulando:
cuyo conjunto solución es

Asignamos valores para x y se obtienen valores para y; z.
x 1 2 3 .
Y O 1 2 .
z O O 2
Luego, el conjunto solución del sistema es
CS={ (1; O;2), (2; 1; O), (3; 2; - 2), ...}
Sistema incompatible
Es aquel sistema que no tiene solución, es decir, su conjunto solución es el
conjunto vacío: <1>.
1. El sistema lineal no tiene solución.
8x+4y=3
En efecto:
De la primera ecuación multiplicada por 2 se obtiene:
de donde 10=3, lo cual es absurdo.
'"Tener en cuenta
Un sistema de ecuaciones lineales
es de la forma:
2. Resuelva en el campo real, es decir, considere x, y reales.
Resolución
De la segunda ecuación despejamos y=4 - x.
Reemplazamos en la primera ecuación: x2+(4_x)2=2
-t x2 - 4x+ 7=0, la cual no tiene solución en lR.
Luego, el sistema no tiene solución. A estos sistemas también se
les llama inconsistentes o absurdos.
CS=q>
En resumen, un sistema de ecuaciones puede ser:
Compatible o ¡Determinada: CS finito
consistente
(3 solución) Indeterminada: CS infinito

• Incompatible o inconsistente: CS vacío( ~ solución)
11. De acuerdo al tipo de ecuaciones
Los sistemas pueden ser lineales o no lineales, dependiendo de la estructura de
las ecuaciones.
Sistemas lineales
Son aquellos sistemas donde cada una de las ecuaciones son lineales. Esta denominación
se debe a que, en el espacio euclideo, estas ecuaciones determinan
rectas, planos o hiperplanos.
Ejemplos
Sistemas no lineales
Son aquellos sistemas donde al menos una de las ecuaciones es no lineal;
es decir, puede ser polinomial de grado n ~ 2, fraccionaria, irracional, etc.
Ejemplos
l. Sistemas polinomiales de grado superior
3. Sistemas no algebraicos (trascendentes)
MÉTODOS PARA RESOLVER UN SISTEMA LINEAL
Los sistemas lineales han sido resueltos por diferentes métodos, siendo los
más importantes los siguientes:
Método de Carl Gauss
Conocido también como el método de reducción. Este método consiste en
ir disminuyendo ecuaciones e incógnitas hasta llegar a una sola ecuación
con la menor cantidad posible de incógnitas.
Ejemplos
l. Resuelva el sistema lineal.

SISTEMAS DE ECUACIONES PROBLEMAS RESUELTOS
















RESOLUCIÓN DE LOS SISTEMAS NO LINEALES
Sabemos que un sistema no lineal es aquel sistema donde al menos una de las ecuaciones no es lineal.
SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS
Son aquellos sistemas lineales donde cada ecuación tiene término independiente nulo.
Método matricial de Gauss
Este método es equivalente al método de reducción y permite resolver un sistema lineal de manera matricial.
Se aplica para sistemas lineales donde el número de ecuaciones puede ser diferente al número de incógnitas.
Se basa en triangular una matriz aumentada, mediante algunas operaciones elementales por filas, para después obtener fácilmente las soluciones con solo despejar las incógnitas desde la última ecuación hasta la primera, sustituyendo en cada una los valores obtenidos en las anteriores. Sea el sistema lineal
Método de Gabriel Cramer
Se llama sistema de Cramer a aquellos sistemas de ecuaciones lineales que cumplen dos condiciones:
1. El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
11. El determinante de la matriz de los coeficientes de las incógnitas es distinto de cero (determinante del sistema).

Resuelva el sistema lineal usando los tres métodos
desarrollados en el texto.
Resolución
a. Método de Carl Gauss:
Es conveniente eliminar x, para ello multiplicamos
por 2 a la ecuación (Ir); en efecto:
Reemplazamos en (Ir)
Por lo tanto, (2; 3) es la solución.
b. Método matricial (matriz inversa)
cuya ecuación matricial es
Como IAI=I~ ;1=2;tO
Luego, multiplicamos por la inversa de A.
Por lo tanto, (2; 3) es la solución.
c. Regla de Cramer
Del sistema tenemos
PROBLEMA 2
Determine el valor de k para que el sistema
sea incompatible.
Resolución
El sistema es incompatible si
Como se cumple que
Por lo tanto, los valores de k son -J3 o - -J3.
PROBLEMAl
Determine el valor a+b de modo que el sistema
tenga infinitas soluciones.
Resolución
Se tiene infinitas soluciones, si cumple

PROBLEMA 4
Determine el valor de A, si e! sistema homogéneo
tiene infinitas soluciones.

Resolución
Si el sistema homogéneo tiene infinitas soluciones,
entonces e! determinante de la matriz de! sistema
es cero.
Se obtiene que (xo; Yo) es una solución con Xo<Yo·
Calcule el valor de x6° .
Resolución
Sumamos las ecuaciones:
En (H) obtenemos: xy=5.
x(-3-x)=5 -7 x2+3x+5=0
cuya ecuación no admite soluciones reales.
II. Si x+y=2, entonces de (11) se tiene xy=O.
Despejamos y=2-x ----7 x(2 - x)=O
PROBLEMA 6
Dado el sistema, calcule la suma de valores que
tomax.
Considere x=y.
Resolución
Restamos miembro a miembro las ecuaciones
Luego tenemos el sistema
Por lo tanto, la suma de valores de x es 9.
PROBLEMA 7
Halle la relación entre a, b, e para que el sistema
tenga también soluciones no triviales:
Resolución
Si este sistema homogéneo también tiene soluciones
no triviales, entonces el determinante A de la
matriz del sistema es nulo.

Por lo tanto, una relación es a+b+e=O.
PROBLEMA 8
Calcule el valor de m en el sistema para que la diferencia
de valores de x sea igual a 2M.
Resolución
De la ecuación (11): y=8 - x
En la ecuación (1): x2+(8-x)2+mx(8-x)=2
Efectuamos y simplificamos:
(2 - m)x2+(8m-16)x+62=0, m:t2
Del teorema de Cardano- Vietta se tiene
En la identidad de Legendre

PROBLEMA 9
El sistema lineal mostrado es indeterminado para
m=m1, e incompatible para m=m2' Calcule el
valor de 4m1 +Sm2'
{
cm+ l)x +Cm+8) y = 7
3x+my=3
(1)
(II)
Resolución
I, El sistema lineal es indeterminado si
m+1 m+8 7
de donde m=6=m .
3 m 3' 1
Ir. El sistema lineal es incompatible si
-m-+1 = -m-+8 7 -j:. -, de donde m=- 4=m2'
3 m 3
Luego,4m1+Sm2=4(6)+S(-4)=4
PROBLEMA 10
Indique el número de soluciones del sistema. ¡xy-6= lx
x3
XY+24=y
(I)
(II)
Resolución
Sumamos a la ecuación (II) cuatro veces la ecuación
(I) se obtiene:
4l x3
Sxy=-+- ~ 4l-Sx2i +x4 =0
x y
Factorizamos
~ x=y v x=-y v x=2y v x=-2y
x=y en (1): x2- 6=x2 imposible
x=- yen (1): - x2- 6=- x2 imposible
x=2y en (II): 2/+24=8/ ~ /=4
¡X=4, y=2 ~ (4; 2) es solución
~ x=- 4, y=- 2 ~ (- 4; - 2) es solución
x=-2yen (II): -2/+24=-8/ ~ l=-4 ~t.4i, y=2i ~ (- 4i; 2i) es solución
x=4i, y=- 2i ~ (4i; - 2i) es solución
Por lo tanto, existen cuatro soluciones.
PROBLEMA II
Resuelva el sistema en el campo real e indique los
valores de z
Resolución
I. Después de efectuar en cada ecuación sumamos
las ecuaciones (1), (II) Y (I1I), Y se obtiene:
(x+y+z)2=0 ~ x+y+z=O
II. Dividiendo las ecuaciones (II) y (I1I)
y(y+2z) = 16 ~ Sl+10yz=16;+32xz
z(z+2x) S
pero, x=- y - z
~ S/+ l Oyz=16;+32z(- y-z)
S/+42yz+16;=0 SYX2Z
y 8z
2 ~ y=-8z v y=--z
S
a. Si y=- Bz, además x=- y - z
~ x=8z-z ~ x=7z
En (III): z(z+2(7z))=-S ~ lS;=-S
No tiene solución en IR.
b. S1· y=- -2 z, ad ema's x=- y - z
S
2 3 ~ x=-z-z ~ x=--z
S S
En (III): Z[Z+2(-~Z)]=-S ~ ;=2S
z=S v z=-S
PROBLEMA 12
Resuelva el sistema no lineal
{
2X2 +3xy+ l =70
6x2 +xy -l = 50
e indique los valores de x.
Resolución
De (1) Y (l!) obtenemos
PROBLEMA 13
Indique cómo debe ser la dependencia entre a y b
para que el sistema lineal admita solución única.
PROBLEMA 14
Calcule el valor de x+y del sistema lineal
considere 2b+3e:;t0
Resolución
El sistema es equivalente a
(a +2b) x +(2b - a) y = 6ae 1(+)
(3e - a) x +(a +3e) y = 4ab
~x+~y=2a~
Como 3e+2b:;t0 -? x+y=2a
PROBLEMA 15
Calcule el menor valor de x+y, luego de resolver el
sistema.
Resolución
De (1) + (l!): 2x2+4xy+2l-72=0
-? x2+2xy+l=36 -? (x+y)2=36
-? x+y=6 v x+y=- 6
(x+y)menor=- 6
PROBLEMA 16
Luego de resolver el sistema
{
x(x-l)+ y(y-l)=48
(x-1)(y-l)+2(x+ y)=32
(1)
nn
halle el número de soluciones de componentes
reales.
Resolución
Efectuamos operaciones en cada ecuación
x2 - x+l- y=48 -? x2+l- (x+y)=48 (l)
xy-x-y+l+2(x+y)=32 -? xy+(x+y)=31 (l!)
De (1)+2(1I) se tiene:
x2+l +2xy+x+y=48+2(31)
~ (x+y)2+(x+y)-110=0
De donde x+y=10 v x+y=-l1
1. Si x+y=Hl, en (11): xy=21
{
x+ y= 10
xy=21
Tiene dos soluciones en R2.
11. x+y=-l1, en (II): xy=42
{
x+ y=-l1
xy=42
No tiene solución en R2.
Por lo tanto, solo existen dos soluciones de componentes
reales.
PROBLEMA 17
Dado el sistema lineal de incógnitas x, y, z.
{
X+y+Z=l
m+y+z=O
x+y+z=-3z
Calcule el valor del parámetro real m, tal que x, y, z
están en progresión aritmética.
Resolución
PROBLEMA 18
¿Qué valor debe tener m para que el sistema admita
solución única?
y+mx = 2
x+y=10
x+my = 3
Resolución
PROBLEMA 19
Luego de resolver el sistema no lineal, calcule el
valor de (x+y - Z)2.
X2 +x~+xz = 24
xy+ Y +yz=32
xz+ yz+z 2 =8
(1)
(11)
(I1I)
Resolución
De (1)+(II)+(I1I)
x2+y2+zZ+2xy+2xz+2yz=64
-7 (x+y+z)2=64 -7 x+y+z=8 v x+y+z=- 8
En (I1I): xz+yz+zZ=8
-7 z(x+y+z)=8
Si x+y+z=8 -7 z=I -7 (x+y-z)=6
Six+y+z=-8 -7 z=-l -7 (x+y-z)=-6
(x+y - z)2=36
PROBLEMA 20
Luego de resolver el sistema no lineal, calcule el
valor de x-y.
(II)
Resolución
Equivalentemente escribimos el sistema ¡x2 + l + 6xy = 153 j 2 2 (+)
PROBLEMA 21
Resolución
Hacemos cambios de variable: x=m3; y=n3.

PROBLEMA 22
Halle una de las soluciones de componentes racionales
del sistema.
jx+y- ~=_E_
Vx-y x-y
xy=15
(1)
(II)
Resolución
En (1) multiplicamos por (x-y):
De donde ~ x2 -l = 4; x2 >l
Luego, el sistema es
Por lo tanto, una solución es (S; 3) o (- S; - 3).
PROBLEMA 23
Resuelva el sistema no lineal
X¡X2 =2
x2x3 =3
x3x4 = 4
Donde {Xl; X2; ... ; Xn} e lR y n es par.
Indique el valor de x3x6'
Resolución
Multiplicamos todas las ecuaciones y obtenemos:
Nótese que si multiplicamos todas las ecuaciones
de lugar impar, obtenemos:
x¡x2x3x4'" xn_¡xn=2·4·6· ... -n
PROBLEMA 24
Resuelva el sistema no lineal.
Calcule la suma de los valores de x.
Resolución
Nótese que la ecuación cuadrática tiene
 luego x toma dos valores
complejos conjugados: Xl y x2


PROBLEMA 25
Indique para qué valores de los parámetros a y ~
el sistema de ecuaciones
1. tiene solución única.
H. es incompatible.
III. es indeterminado.
Resolución
Reemplazamos en (IH) y obtenemos:
Como vemos x, y dependen de z.
PROBLEMA 26
¿Qué relación debe existir entre los parámetros a,
b y e para que el sistema sea compatible?
Considere que
Resolución
De (1) - (11) obtenemos:
Reemplazamos
Entonces
Reemplazamos en (I1I)


PROBLEMA 27
Discuta y resuelva el siguiente sistema lineal aplicando
el método de Gauss.
Resolución
Aplicamos OE filas a la matriz aumentada:
Luego, el sistema es equivalente a
PROBLEMA 28
Discuta el siguiente sistema en función de los valores
del parámetro a y resuélvalo en los casos en
que sea compatible.
¡x+ay+z=-2
ax+y+z=-2
x+y+az=-2
Resolución
La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada
son:
Veamos la matriz ampliada.
La solución del sistema depende de los parámetros
o variables libres.
Entonces, el sistema no tiene solución.
es aplicable la
regla de Cramer. Luego:


PROBLEMA 29
La edad actual de José es el doble de la edad de
Juan. Si hace 7 años, la suma de sus edades era
igual al promedio de sus edades actuales disminuido
en 0,5; halle ambas edades.
Resolución
Interpretamos los datos en la tabla
1 Hace 7 años Presente
Por lo tanto, las edades son 9 y 18 años, respectivamente.
PROBLEMA 30
Antonio le dijo a Carlos: Cuando tenías mi edad,
yo tenía la edad que tiene Luis, quien tenía 2 años.
Si ambas edades están en la relación de 7 a 10,
calcule la edad de Luis.
Resolución
Planteamos un cuadro con los datos
Pasado Edades actuales
Antonio y x
Carlos x z
Luis 2 y

La diferencia de edades para cada uno es constante,
entonces:
De donde
Por lo tanto, Luis tiene 8 años.
PROBLEMA 31
Hace n-s años, la edad de A era n veces la edad
de B. Dentro de n+s años, solamente será s veces
la edad de B. ¿Cuál será la edad que tenía B hace
n-saños?
Resolución
Planteamos un cuadro con los datos
Hacen-s
años Presente Dentro de n+s años
De los datos:tanto, B tenía 2n(s -1) años.
PROBLEMA 32
Viajando a 100km/h, un piloto llegaría a su destino
a las 19h, pero viajando a 150km/h lograría
llegar a las 17h. Si desea llegar a las 18horas, ¿a
qué velocidad debe ir?
Resolución
Sea t el tiempo que utilizó para llegar a las 19h,
entonces (t - 2) h será el tiempo para llegar a las
Por dato:
Entonces, la distancia que debe viajar es
d=100 kmx6 h ---¿ d=600 km
Para llegar a las 18h irá v km
Efectuando

Por lo tanto, tendrá que viajar a 120km/h.
PROBLEMA 33
Del embarcadero A partieron, al mismo tiempo
río abajo, un bote y una balsa. El bote, después de
pasar 96km río abajo, volvió hacia atrás y regresó
al cabo de 14h. Halle la velocidad del bote en agua
muerta y la velocidad de la corriente, si se sabe que
en su camino de regreso el bote encontró a la balsa
a la distancia de 24km de A.
Resolución
Sean v: velocidad del bote
u: velocidad de la balsa=velocidad del río
(tiempo de ida más tiempo de vuelta)
11. En el punto C, el tiempo del bote es igual al
tiempo de la balsa
Luego, se forma el sistema no lineal de ecuaciones:
Por lo tanto, la velocidad del río es de 2 km/h y la
velocidad del bote es de 14km/h.
PROBLEMA 34
Si un examen de álgebra inicia a las 15 h 30 min y
dura 2 h 30 min, ¿a qué hora la fracción transcurrida
del día es igual a la fracción transcurrida del
presente examen?
Resolución
Sea x el número de horas transcurridas desde que
se inicia el examen. Luego, las horas transcurridas
de1díla son 15-+1 x=-+x.31
La duración del examen es de 2 h 30 min=- h
Nota:
fracción
transcurrida
del examen
fracción
transcurrida
del día
Efectuamos
Por lo tanto, sucedió a las 17 h 18~ mino
PROBLEMA 35
¿A qué hora, entre las 4 p. m. y las 5 p. m., el minutero
y el horario formarán por primera vez un
ángulo que sea la quinta parte del ángulo exterior?
Resolución


Del gráfico:
Trabajemos en minutos
r. 5(HCX=60 min ----j cx=10 min
Ir. 20+x=12x+cx ----j llx=20-10
x=u 10 ·(120) ----j 12x= 11 min
12x=10 min 54 s
Por lo tanto, la hora es 4 h 10 min 54 s
PROBLEMA 36
Se compran 40 animales: pollos a S/. 4, palomas
a SI. 2 y pavos a SI. 17. Si se adquiere el número
máximo de pavos, ¿cuántos pollos se compran si
el gasto total es de S/. 301?
Resolución
Sean: x el número de pollos ----j costó 4x
y el número de palomas ----j costó 2y
z el número de pavos ----j costó 17z
De los datos
Como x, z son enteros y z es máximo, se tiene
Por lo tanto, se compran 13 pollos.
PROBLEMA 37
Si pasara una moneda de mi mano izquierda a la
derecha, en ambas manos tendría el mismo número
de monedas; pero si se realizara la operación
inversa, se tendría el doble número de monedas
en la mano izquierda. ¿Cuántas monedas
tengo en total?
Resolución
Planteamos un cuadro con los datos:
Izquierda Derecha
inicio x ~. y
operación x-l y+l
operación inversa x+l y-l
De los datos


Por lo tanto, en total tengo 12 monedas.
PROBLEMA 38
De un depósito lleno de ácido puro se ha sacado
dos veces 5 litros, reponiéndose en cada caso con
idéntico volumen de agua. El resultado final fue
de 90,25 litros. ¿Cuál es la capacidad del depósito?
5 L ácido

Resolución
Trabajando solo con ácido
o: inicio V L de ácido
1. Para (V - 5) L de ácido su concentración es
11. Se sacaron 5 litros de mezcla en la cual se ha
(V -5) perdido 5 V de ácido.
Entonces, queda de ácido
Por dato:
Resolviendo, se halla V=lOO.
Por lo tanto, la capacidad del depósito es de 100 L.
PROBLEMA 39
Para llenar un depósito, el primero de dos conductos
necesita 20 minutos menos que el segundo.
Si ambos se abren simultáneamente, llenan en 16
minutos los 2/3 del depósito. ¿En cuánto tiempo
se llena el depósito con solo el primer conducto?
Resolución
Por lo tanto, el depósito, solo con el primer conductor,
se llena en 40 minutos.
PROBLEMA 40
Una piscina se llena de agua con ayuda de dos
grifos. Al principio, el primer grifo permaneció
abierto una tercera parte del tiempo requerido
para llenar la piscina, valiéndose solamente del segundo
grifo. Luego, al contrario, el segundo grifo
permaneció abierto una tercera parte del tiempo
necesario para llenar la piscina, haciéndose uso
solo del primer grifo. Después de esto se llenaron
~ de la piscina. Calcule el tiempo necesario para
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llenar la piscina haciendo uso de cada grifo por
separado, si manteniendo abierto ambos grifos a
la vez la piscina se llena en 3 horas 36 mino
Resolución
Sean q¡ Y q2 la cantidad de agua por minuto que
sale de los grifos (en L/min) y sea V el volumen de
la piscina. Entonces, el tiempo que requiere cada
grifo para llenar separadamente es igual a
q¡ q2
1. De la primera condición
1 1 13
q¡ -t2 +q2 -tI =-V
3 3 18
Reemplazando t¡Y t2 se tiene
(:h._)2 _ 13 :h._+1= O
q2 6 q2
De donde se obtienen
ql 3 v
q2 2
JI. De la segunda condición se obtiene
V = (3,60+36)(q¡+q2)=216(q¡+q2)
V V
Como: tI = - /\ t2 = -, entonces
a. Si - = -3 entonces q2
entonces t¡=360 min
t2=540 min
I • Resuelva el sistema de ecuaciones lineales.
2008X +2009 Y = 1
2007x+ 2008y = 2
Calcule el valor de y.
A) 2010
D) 2009
B) 2006 C) 2008
E) 2007
2. Sea la terna (a; b, e) solución del sistema de ecuaciones
entonces, la suma (a+b+c) es igual a
3. Si el par (a; b) es solución del sistema no lineal
calcule el valor de a+b.
4. Resuelva el sistema no lineal e indique el valor de ~. Considere x, y positivos.
5. Si el sistema lineal
tiene solución de componentes positivas, halle los
valores de n.
y calcule el producto xyz.
7. Encuentre los valores de a tal que el sistema lineal
sea compatible determinado.